کاربرد مشتق حسابان دوازدهم؛ حسابان یکی از مشکل‌ترین و چالشی‌ترین درس‌های رشته ریاضی است. بسیاری از دانش آموزان و داوطلبان کنکور از درس حسابان واهمه دارند. چرا که نمی‌توانند مطالب آن را به خوبی درک کنند. اگر دانش آموزان بتوانند تمام مباحث حسابان را به خوبی درک کنند، می‌توانند به راحتی به سوالات آن پاسخ دهند. حسابان را نمی‌توان حفظ کرد. بلکه؛ باید مباحث آن را خواند و عمق مطالب این درس را درک کرد. اگر مطالب آن را درک کنید، به راحتی می‌توانید به تمرین‌ها و تست‌های آن پاسخ دهید.

راز تسلط بر حسابان چیست؟

راز تسلط بر مطالب حسابان، تکرار و تمرین بسیار است. تکرار و تمرین به این صورت نیست که یک مطلب را چندین بار بخوانید. بلکه؛ به این صورت است که شما یک مطلب به حسابان را یک بار می‌خوانید و سپس تست‌ها و تمرین‌های آن را بارها و بارها حل می‌کنید. یعنی نه اینکه یک تست تکراری و تمرین مشابه را حل کنید، بلکه تست‌ها و تمرین‌های متنوعی را برای تسلط بیشتر برای موضوع حل می‌کنید.

در کتاب حسابان ۲ یعنی حسابان پایه دوازدهم در فصل ۴، مفهوم مشتق و روش‌های مشتق گیری آورده شده است. در فصل پنجم همین کتاب بعضی از کاربردهای مشتق برای دانش آموزان توضیح داده شده است. در حقیقت در فصل ۵ حسابان ۲ یعنی کاربرد مشتق حسابان دوازدهم دانش آموز می‌فهمد که چگونه مشتق در حل مسائل علوم مختلفی مانند علوم ریاضی، فیزیک، علوم اقتصادی و برنامه‌ریزی‌ها و طراحی‌های علمی نقش دارد. در ادامه این مطلب بیشتر با کاربرد مشتق حسابان دوازدهم آشنا خواهید شد. اگر داوطلب و دانش آموز رشته ریاضی فیزیک هستید، حتما این مقاله را تا انتها بخوانید.

کاربردهای مشتق حسابان دوازدهم

در ادامه کاربرد مشتق حسابان دوازدهم را به تفصیل برای شما عزیزان توضیح می‌دهیم.

• نقاط بحرانی و اکسترمم‌های تابع

نقاط بحرانی در کاربرد مشتق حسابان دوازدهم نقاطی هستند که جزو دامنه تابع به جز نقطه ابتدا و انتهایی دامنه قرار دارند که مشتق در آن‌ها تعریف نشده و یا برابر با صفر است. ماکسیمم و مینیمم‌های نسبی تابع در نقطه بحرانی قرار دارند و این مسئله باعث می‌شود که این نقاط از اهمیت ویژه‌ای برخوردار باشند. اگر یک بازه‌ی باز پیدا شود که یک نقطه از این بازه از عرض بقیه نقاط بازه بزرگتر یا مساوی با آن‌ها باشد آن نقطه را ماکسیمم نسبی و اگر آن نقطه کوچکتر و یا مساوی با بقیه نقاط باشد آنرا مینیمم نسبی می‌گویند. مجموعه نقاط ماکسیمم نسبی و مینیمم نسبی موجود در یک تابع را اکسترمم‌های نسبی آن تابع می‌گویند. ماکزیمم مطلق نیز به حالتی گفته می‌شود که عرض یک نقطه در تابع از تمام نقاط موجود در دامنه تابع بیشتر باشد. مینیمم مطلق برعکس ماکسیمم مطلق است و به نقطه‌ای گفته می‌شود که کمترین عرض را در دامنه داشته باشد. به مجموع نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق اکسترمم مطلق می‌گوییم.

• بهینه سازی در کاربرد مشتق حسابان دوازدهم

از اکسترمم‌های مطلق در بهینه سازی استفاده می‌کنیم. مثلاً کمیت‌هایی مانند سطح، حجم، طول و غیره را می‌خواهیم ماکزیمم و مینیمم کنیم و یا برای به دست آوردن سود حاصل از یک سرمایه‌گذاری، آن را ماکسیم می‌کنیم. برای این کار باید ابتدا شرایط مسئله را بررسی کنیم. مسئله را بفهمیم، هدف مسئله و خواسته های آن را تعیین کنیم. سپس معادله تک متغیره ایجاد کنیم  یعنی بر اساس متغیرهای اصلی یک معادله ایجاد کنیم و رابطه بین متغیرها را تعیین و آنها را بر اساس متغیر اصلی به دست بیاوریم. در مرحله آخر باید اکسترمم مطلق معادله اصلی را مشخص کنیم. اکسترمم مطلق معادله اصلی به کمک مشتق گیری تابع به دست می‌آید.

همچنین بخوانید درباره: سرفصل های حسابان دوازدهم

• تعیین کردن نزولی و یا صعودی بودن توابع

از دیگر کاربردهای مشتق این است که صعودی و یا نزولی بودن توابع را مشخص میکند. اگر بخواهیم جهت تغییرات را بررسی کنیم و یا نقاط اکسترمم نسبی یک تابع را تعیین کنیم، از آزمون اول مشتق استفاده میکنیم. به خاطر اینکه بخواهیم این مطلب را به صورت کامل ادا کنیم، می‌توانیم بگوییم که ابتدا باید از معادله تابع مشتق بگیریم، علامت آن را تعیین کنیم و این علامت را در فاصله‌ای که مشتق مثبت است صعودی می‌گوییم و در فاصله‌ای که مشتق منفی است، آن را نزولی می‌گوییم و در فاصله‌ای که مشتق صفر باشد، تابع را ثابت می‌گوییم. اگر مشتق یک تابع به ازای یک مقدار معین تغییر علامت داد، تابع به ازای آن مقدار، ماکسیمم و یا مینیمم است. اما؛ اگر این تغییر علامت از مثبت به منفی بود، آن نقطه ماکسیمم، اگر از منفی به مثبت بود آن تابع مینیمم و اگر در این تابع تغییر علامتی صورت نگرفت، اکسترمم محسوب می‌شود.

• جهت تقعر و نقطه عطف

یکی از مباحث در آموزش حسابان مبحث کاربرد مشتق، جهت تقعر و نقطه عطف می‌باشد. اگر گودی منحنی مورد نظر به سمت بالا باشد تقعر منحنی به سمت بالا و اگر گودی آن منحنی به سمت پایین باشد تقعر آن به طرف پایین است. نقطه عطف را نقطه‌ای از منحنی می‌گویم که در آن تقعر عوض شده به شرط آنکه خط مماس داشته باشد. برای تعیین جهت تقعر و نقطه عطف منحنی از آزمون دوم مشتق استفاده می‌شود. برای این کار از معادله تابع مشتق دوم گرفته و آن را تعیین علامت می‌کنیم. در هر فاصله‌ای که مشتق دوم مثبت شد تقعر منحنی به سمت بالا و در هر فاصله‌ای که مشتق دوم به مقدار معینی تغییر علامت بدهد به شرطی که خط مماس نیز داشته باشد نقطه عطف منحنی است.

• رسم نمودار تابع

از تمام اطلاعاتی که تا به حال خواندیم، جهت رسم نمودار تابع استفاده می‌کنیم. برای رسم نمودار توابع، انجام چند مرحله ضروری است.

1. دامنه تابع را تعیین کنید.
2. اگر تابع مجانب داشت، مجانب‌های تابع را پیدا کنید.
3. نقاط تلاقی تابع با محور‌های مختصاتی را تعیین کنید.
4. مشتق تابع را بگیرید و نقاط بحرانی و نقاط اکسترمم را تعیین کنید.
5. مشتق دوم تابع را بگیرید و جهت تقعر و نقطه عطف تابع را تعیین کنید.
6. جدول جهت تغییرات تابع را تشکیل داده و با استفاده از این جدول نمودار تابع را به سادگی رسم کنید.

شما دانش آموزان عزیز می‌توانید تمامی این مبحاث را در دوره آموزشی کاربرد مشتق حسابان موسسه رادیو اکتیو یاد بگیرید. همچنین برای استفاده از سایر آموزش‌های درس ریاضی، درس مورد نظر خود را از بخش زیر انتخاب کنید و از آموزش‌های موسسه استفاده کنید.

سخن آخر

در این مقاله با کاربردهای مشتق حسابان دوازدهم آشنا شدید و فهمیدید که کاربرد مشتق حسابان دوازدهم چیست. این مطلب مناسب با دانش آموزان رشته ریاضی فیزیک، داوطلبان گروه آزمایشی ریاضی و فیزیک در کنکور و تمام مشتاقان و علاقه مندان به درس حسابان است. شما می‌توانید سوالات خود را از طریق همین مطلب با کارشناسان رادیو اکتیو مطرح کرده و در اسرع وقت پاسخ خود را دریافت کنید.

درخواست مشاوره اختصاصی

دریافت مشاوره